陆老丝儿
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考研数学线性代数常用公式4

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更多 发布于:2021-03-24 11:19
考研资料网为大家分享考研数学历年真题及答案解析,希望对大家有所帮助,如果需要下载word打印版,请关注公众号:kaoyanyo,发送关键词:数学真题


7、线性方程组解的存在性

图片:1616555148(1).jpg




线性方程组解的唯一性

图片:1616555155(1).jpg




当线性方程组Ax=b有解时,Ax=b的解不唯一(有无穷多解)

注:

1)注意该定理成立的前提条件是线性方程组有解;也就是说,仅告知r(A)>n是不能得到Ax=b有无穷多解的,也有可能无解.

2)定理 2 是按照Ax=b有无穷多解的等价条件来总结的,请考生据此自行写出Ax=b有唯一解的条件.



特征值和特征向量:设A为n 阶矩阵,λ是一个数,若存在一个n 维的非零列向量α使得关系式Aα=λα成立.则称λ是矩阵A的特征值,α是属于特征值λ的特征向量.

设E为n阶单位矩阵,则行列式丨λE-A丨称为矩阵A的特征多项式.

注:

1)要注意:特征向量必须是非零向量;

2)等式Aα=λα也可以写成(A-λE)α=0,因此α是齐次线性方程组(A-λE)x=0的解,由于α≠0 ,可知(A-λE)x=0是有非零解的,故丨A-λE丨=0;反之,若丨A-λE丨=0,那么齐次线性方程组(A-λE)x=0有非零解,可知存在? α≠0使得(A-λE)α=0,也即Aα=λα.

由上述讨论过程可知:λ是矩阵A的特征值的充要条件是丨A-λE丨=0(或丨λE-A丨=0),而特征值λ的特征向量都是齐次线性方程组(A-λE)x=0的非零解.

3)由于丨λE-A丨是n次多项式,可知丨A-λE丨=0有n个根(包括虚根),也即n 阶矩阵有n 个特征值;任一特征值都有无穷多特征向量


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